2021阿里巴巴数学竞赛决赛解答

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主赛道应用副赛道代数。

应用，第2，3题没有想出来。第4，5题我都有想法。

第一题我做出来了不过没来得及说清楚. 记女生人数$n$男生人数$n+2$. 第一问答案$\frac{n}{n+1} = \frac{20}{21}$. 第二问答案$n(n+2) = 440$.

第四题第一问是Holder不等式，直接套一下就出来了；第二问就是概率的基本定义。取等需要直接构造对应的Y，同样第一问参考Holder不等式取等条件，第二问用定义构造。

第五题稍微有点复杂，而且题目里的条件没有用到。对区域$Ω$，记$C(Ω)$是“满足任意两点距离为1的集合的最大元素个数”。 对$v \in \Omega$, 记$S(v)$是以$v$为圆心1为半径的球面(用来后续取交). 证明核心是 “引理：考虑区域$Ω$的子集$A$。若$A$中任意3点均有2点距离为1，则$|A| \leq 2C(\Omega)$.” 证明方式是数学归纳法（废话）。那么我们假定我们已经对$C(\Omega) \leq d$证明了, 我们来考虑$C(\Omega) = d+1$.

• 如果$A$中任意两点距离都是1，则$|A| \leq C(\Omega)$.

• 如果$A$中存在两点距离不是1，假定这两个点是$v_1, v_2$。那么必然剩下所有点都位于

  $$S(v_i) \cap \Omega, \quad i=1,2$$

  之一里. 记

  $$A_i = A \cap S(v_i) \cap \Omega, \quad i=1,2.$$

  显然$A_1 \setminus A_2$和$A_2 \setminus A_1$中任两点距离1.

  • 若$A_1 \setminus A_2$和$A_2 \setminus A_1$均非空, 则$\forall v \in A_1 \cap A_2$, 或者$A_1 \setminus A_2 \subseteq S(v)$或者$A_2 \setminus A_1 \subseteq S(v)$, 否则取$u_1 \in A_1 \setminus A_2 \setminus S(v)$,$u_2 \in A_2 \setminus A_1 \setminus S(v)$, 则三元组$(v,u_1,u_2)$构成反例.

    取$B_1 = { v \in A_1 \cap A_2 : A_1 \setminus A_2 \subseteq S(v) }$,$B_2 = { v \in A_2 \cap A_1 : A_2 \setminus A_1 \subseteq S(v) }$, 则$(A_1 \setminus A_2) \cup B_1 \cup {v_1}$和$(A_2 \setminus A_1) \cup B_2 \cup {v_2}$中任两点距离1. 总点数$|A| \leq 2 C(\Omega)$. 其实这段配图后是显然的, 不过当时时间紧张来不及写了… 希望别为此扣分. 除此之外的地方应该都写清楚了.

  • 若$A_1 \setminus A_2$和$A_2 \setminus A_1$有至少一个非空, 不妨假定$A_2 \subseteq A_1$. 则$A \subseteq { v_1,v_2 } \subseteq S(v_1)$. 只需证明$S(v_1) \cap \Omega$上不多于$2(C(\Omega)-1)$个点即可.

    由于$S(v_1) \cap \Omega$上的点到$v_1$的距离都是1, 因此$C(S(v_1) \cap \Omega) \leq C(\Omega) - 1$. 由归纳假设知证毕.

回到原题. 显然$C(\mathbb{R}^d) = d+1$, 因此证毕. (啥你说题目里这些点还要在某个奇奇怪怪的区域里? 风太大我没有听清.)

代数做了17题, 19题做了一半. 然而因为我的愚蠢, 第19题忘了提交答案o(TヘTo). (不过刚刚看了眼大家的做法, 好像19题我就用对了伽罗瓦扩张后面都不太对.)

17题就是简单线性代数啦, 构造个函数只在0点处取1其他位置取0就好.