线性代数学习建议
2020年01月04日成文
2020年09月14日最后修改
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线性代数历史1
线性代数的研究始于19世纪上半叶方程化简问题与对非交换代数的寻找。Catalan在1839年用行列式给出了变数替换时的积分公式，稍后行列式也被Cauchy等人用来在多元多次方程中消去一个变元。几乎同时的1843年，Hamilton发现了四元数。
相比之下，矩阵和向量概念本身的提出则晚了不少。矩阵概念的正式提出是1855年的Caylay。（这个Caylay和上文的Hamilton正是Hamilton-Caylay定理所指称的二人。）至于引入线性空间及将矩阵视为线性空间之间的同态，则始于70年代Maxwell对电磁学的研究。
这似乎颇为有趣：《线性代数》作为学科建构的顺序和其出现的顺序恰恰相反。（感觉就好像，作为数学之万物基础的集合论要等到19世纪末20世纪初才兴盛。）
关于学习心态
从线性代数的发展史可以看到，线性代数本身有极为深刻的数学和物理背景。时至今日，线性代数更是融入了理工科的方方面面。其在近代数学的重要性直接意味着，大学数学中就没有一门课不需要线性代数。所以功利的来讲，学习线性代数是为了能够继续学习其他的数学知识，是为了让你不将前途局限于文科。 然而，只囿于此么？
线性代数无疑是极其优美的：线性变换看起来毫无头绪，但居然可以和矩阵建立对应关系；相抵变换中，秩居然就可以刻画所有的不变量……线性代数的美妙当然远不止如此。以至于，虽然线性代数一开始只是麦克斯韦研究电磁学的副产物，其甫进入数学便举足轻重。作为助教，我的心态从来都是：好希望用这有限的相处时间，带你们领略线性代数那无限的美丽，哪怕一隅也好！古言云：”以有涯随无涯，殆矣”；而我想说：陶醉在这样的美丽中，不正是人生的一大快乐么！
关于学习方法
致远学院对于学生的要求是，在核心课程上，平均每人每周每学分应当花费1小时左右的上课时间和3小时左右的课下时间。具体到线性代数上，大一上的课程是5学分，所以你每周理应花费15小时的课下时间来学习线性代数。多嘴一句，如果将全部核心课程需要的时间纳入时间分配，则你每天逍遥的时间应该不能超过1小时。如果你每天晚上都能打一小时游戏，那你可能是天才；当然更可能，是你时间分配出现了问题。
比较建议的时间分配如下：老师上完课、以及我上完习题课的当天，你应当立刻尝试理解当堂课的内容。这件事最迟不应超过当周周末完成。你应该做到：在没有书本或笔记的提示下，对于我们讲过的任意一个定理，你应当可以证明；对于我们讲过的任意一道题目（有时可能是针对作业题的拓展），你应当能够解答。每周上课7小时（5小时老师上课+2小时习题课），对大多数人而言这项工作大约应该可以在7~9小时完成。
你还应当看书。线性代数方面，我个人非常喜欢这几本书（英文版Linear Algebra Done Right中文版《线性代数应该这样学》，北大的《高等代数》2，清华张贤科《高等代数学》3）。你可以从中选择一本或多本，学习一下书上的定理是怎么证明的，模仿着写作业。如果你和我一样不喜欢记笔记，而又在复习当周知识中遇到了一些障碍，书本也是很有效的学习手段。看一下书本是怎么解决你的障碍的，然后学习它！如果忘记了某个定义，也不妨翻书一阅（也可以维基百科）。看书大约应当占据2~3小时（毕竟相关内容上课应该讲过了）。你也可以选择先看书再复习上课内容（比如我当年就是这样），这样看书时间会稍微久些，复习老师讲课内容的时间稍微少些，总之自行把握就好。作业当然是应当做的；但作业更像是检验学习成果、以及磨炼刚习得的技巧的手段。平凡的作业题对你的成长显然没有意义；所以如果有题不太会做，这很正常。想一想老师讲过的、我讲过的、书上有的，有没有什么可以来用的？也许你可以得到灵感。子曰：”有颜回者好学，不迁怒，不贰过。”不贰过就是对一个人最高的评价。更多的时候，题目本身不是作业的重点：你可能为了解决这道题颇为绕了远路，却因此得以温习这条路上的诸多知识。学而时习之，不亦乐乎？每周作业的时间可以控制在3小时左右。喜欢思考难题的话，这个时间可以更久。
自然，这些时间的分配都是颇为灵活的。对我当年来说，比较难的题目，一题想40分钟甚至1小时，都是可能的。相对来说，我复习老师内容的时间比较少。但无论如何，一周结束，你应当做到：
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任意给你一个讲过的定义，你可以复述之；
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任意给你一个讲过的定理，你可以证明之；
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任意给你一个讲过的方法，你可以理解之；
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任意给你一个做过的习题，你可以解答之。
以金庸的武侠小说类比：概念是基本功，明白概念才能正确持刀，不会闹出刀柄甚至豆腐砍人的笑话；定理构成知识骨架，犹如内功，一切的技巧都依附与此；技巧犹如招式，”凌厉刚猛，无坚不摧”，可最后总会回到”重剑无锋，大巧不工”以至”草木竹石均可为剑”；至于习题，不过是一次小小比武，倘若前三者精进，当无失败之理。只有四者俱明，你才可以认为，这周的线性代数是掌握了。
如果你发现，每周完成这些所需的时间大大超出15小时，你可以找我或者找老师，针对你自身的情况探讨如何学习。我们一定会非常乐于解答的。（但如果远远不足，那还是先认真学习吧……大学并不是轻松的喔。4）
教材选择
我上文已经提到了北大的《高等代数》，清华张贤科《高等代数学》等等的教材。我承认我不太喜欢Gilbert Strang的Introduction to linear Algebra，但在此我也需要提及。
Gilbert的线性代数确实是很好的书：它详细展示了，我们如何一步步想到这些定义和构造。太多经验性的东西，普通人很难描述，甚至可能”只可意会不可言传”，而他在努力的尝试告诉我们，为什么我们会这么想。
我不喜欢的也恰恰是这一点：因为我自己形成思路总是比阅读并理解他人思路更加快捷，我更喜欢自行尝试证明这些结论，亲身试一遍错，便对这些经验略晓一二；以此便也容易发现自身薄弱，日后针对复习；因此我更喜欢那些只说重点而细节留待读者自证的书。
当然，一学期的助教后，我意识到了，确实一些人在遇到问题时没有什么方向，不能很好地形成自身思路，因此需要首先学习如何想到这些思路，才能再练习”找到最好思路”的直觉。这时候就可以考虑一下Gilbert的书了。
对于非数学系学生来说，因为只需要掌握线性代数的结论而不需要学习关于”线性代数思路”的经验，Gilbert的书无疑是极适合的——知道结论的前因后果无疑对记忆有极大辅助。数学系，尤其是有志于做代数方向的人，额外要求知道如何想到这些结论，便不可少的需要自己推一遍过程，不能独赖书本讲解。从这个角度讲，Gilbert的书略浅。但对于基础薄弱同学，倘能掌握Gilbert的书，除线性代数考试分数可能不高，亦已能行走江湖（包括与代数交叉的学科如代数拓扑等，只要将来做研究时不碰纯代数就没啥问题）。
关于作业
单周作业全对或至多错一题为9.5分。每周作业在20题左右，每错一题扣0.5分，扣到0分为止。每周将奖励一些作业完成优秀的人（一般大约5~10人），这些人该周作业将得10分；可能受到奖励的原因包括：思路极为清爽整洁；某题解法新颖；由于某题做出的人过少而该周最终成绩全班加0.5分（这种情况下加到10分为止）。最终的作业成绩算法为$final = min(100,k \cdot Average + b)$，其中$Average$是所有作业的均分，$k \leq 10$。$b$的选取满足条件：”最终作业成绩满分”的充分不必要条件是”作业均分达到$9\frac{1}{2}$”。
你应当按时完成作业；若晚于我批完该周所有作业后24小时，你将受到如下两个惩罚：
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每晚一周你的成绩将在原先成绩的基础上扣1分，扣满2分为止。这个惩罚无法随订正作业而取消。
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我不能保证记得所有可行方法，从而批作业的准确率下降（而且如果我讲过了该周作业，我总是倾向于认为你已经会做这些题了，所以倾向于认为这份作业基本是对的。）
每周的作业建议标好周数或者日期。你可以订正，但请不要堆到最后一周才订正（恐怕这样你自己都忘记了当时题目了吧，而且也挤占复习时间）；如果不标注周数，可能会在确认某次作业到底是第几周的上花费过多时间。完全订正一周的作业将使你该周分数回到9分（迟交惩罚不会因订正而消除）。除非你另行要求，我不会查看订正后的过程：我总是假定你们可以订正正确。
如果题目就是不会
你可以看答案或者与同学交流！但这样的话，请换一种颜色的笔写（这样的题当然也可以用红笔写啦，红笔写的答案永远不会参与查重），或者在醒目处注明（文字请类似于”本题参考过答案”或”本题思路由xx提示”或”本题已与xx讨论”），我将这样的解答视同为订正，也不查重。如若不这样做，即使你有改动过解答的个别数字，或者重新自行验证了解法的正确性，我也将视之同抄袭（抄袭惩罚：一经发现，此次作业以0分记，视情况最终的平时成绩可能再扣5分）。（可笑的是，经常出现”几个人在作业的相同地方犯同样的错误”的情况。这简直是明示你们抄袭。数学是讲逻辑的，难道你们连抄袭时，都不验证逻辑么！）
如果你不确定某题自己的答案，可以醒目地标注，比如答案左侧加圈之类，我看到了会仔细帮你验证答案。（不过我时间也颇为紧张，还望多多包涵。）
请尽量”不贰过”喔！我的做法是：每天睡前问问自己，这题还会不会；如果不会马上看一遍题解；次日醒来再问自己会不会，不会就看一下；如是数次。
几乎所有题目在网上都可以搜到答案；即使自己会做，关注别人的方法也是值得鼓励的。唯一应当谴责的仅仅是：你装作你会做。这不诚信！而且这也阻碍了老师和我对你们的了解、和你复习时对你之前掌握情况的了解。
我的做法：实在不会做就换红笔书写题解（我每月大概有一道作业题不会），之后期末复习时只要专注于那些错题和不会的题目就好了，其他题目完全可以放过。这很能节约你宝贵的期末复习时间。
还请注意，以上针对的是”不会做”、或者想要拓展自身思路的题目。如果你会做，而只是担心自己做错，那么看答案没有任何帮助。相反，依赖答案只会使你丧失对逻辑和严谨性的训练。
数学建立的基础是逻辑、是ZFC公理，而不是任何人编写的参考答案。你应当做的是仔细检查自己证明中的逻辑，而当确认无误后就应该对正确性具有足够的信心。这个过程无需得到任何其他人的肯定，某个人的肯定也无法增减哪怕些许命题的可信度：自公理诞生的一刻起，每个命题的正确性（正误或不可判定）便不再改变。
所以，你应当用因果而非相关、逻辑而非权威、实证而非信念，来完成你的学习。
关于订正方法
如果某题是”证明或举反例”，答案是有反例的，而你却证出来了，如果你不是有意给伪证的话，这是天赐良机呀！
这说明，你发现了某个你的逻辑漏洞，你应该仔细检查你证明的gap在哪里，然后反思：是因为不清楚定义？还是笔误？或者是想当然了？还是没有意识到某个性质的重要性？过而能改，善莫大焉。这是绝佳的成长机会！
关于细节错误
“细节”意在说明这些错误内容不在授课范围。
如果是计算错误，一般问题不大：实际生活中有计算机辅助计算，你只需要确认”这个错误不是因为过程繁琐导致的”即可。（过程繁琐意味着即使让电脑计算，你仍然很可能写错代码。）
如果是逻辑错误，这通常是非常致命的。逻辑错误是一颗雷，会让你得到许多似是而非的结论，并在”我觉得我会做”这点上给你错误的自信。某种意义上，经济危机就是一些人罔顾逻辑的结果。所以，你需要仔细思考是什么导致了这里的逻辑错误，并力图在日常生活中（不止是学习中）避免类似的错误。比方说，一个实数显然不会等于一个集合，一个函数也不会等于一个矩阵。那么你就要思考，作业（考试）中为什么会犯这样的错误呢？下次写作业时，怎样才可以避免类似错误呢？再如，当你提出一个命题（无论是数学上还是生活中的）并试图论证时，想一想，有没有显而易见的反例？自己的证明是否真的足够严谨？显然荒谬的命题徒会浪费双方时间。
关于作业批改
批作业时我主要看思路。所以如果你思路正确但有细节错误，我可能就看不出来。另外，批作业时难免会引入一些假阳性和假阴性结果，这无法避免，还请见谅。如果我误将正确解法判成错误了，请告诉我，我可以改成绩。如果你不确定某题自己的答案，可以醒目地标注，比如题号左侧加圈之类，我看到了会仔细帮你验证答案。（不过我时间也颇为紧张，还望多多包涵。）
一般我会在下周收作业时发放上一周作业。
关于考试泄题或透露考点
一言以蔽之：讲过的就是考点，不存在另行划重点之说。考试不会泄题，请放心。
我相信考试范围应该局限在助教或者老师讲过的知识点中。但是由于我们认为我们讲的都是重要的（逆否命题亦真：我们认为的非重点其实都没讲），所以恕无法另行划重点。
由于习题课期间很多人看起来都不在听课，我为了试图激起你们的紧迫感，经常会说诸如”这个结论考试可能会考”。类似这样的话只为了引起你们注意，我不知道、也不会知道类似的题会不会出到考试卷中。同时也还望你们理解身为助教的良苦用心，认真听课就是对助教工作的最大鼓励！
再说一些废话吧。老师出卷时，总是会往里面放一些原题（改数据也算原题）。如果考完发现，作业会做而考试不会，那么就要扪心自问，为什么会这样，下一次考试如何避免。毕竟，碰到原题，理应更佳熟练才是；何况，讲评完作业后，也理应弄懂作业的每一道题。
另外，期中期末考试容易扎堆。一门考完而其余未毕时，教务老师希望大家不要询问考试成绩，以免影响后续考试。遵其要求，我亦不会泄露成绩。
如果学习不逮
我每周会在习题课之外再行安排2小时，讲一下大多数人都做对的作业、或者习题课已经讲过的东西（如果你之前没有听懂）。任何人都可以自由选择是否前来。如果你有需求，请你事先准备好你需要我再讲一遍的题目，避免临时翻找。当然也欢迎大家单纯来听课。（我希望用这种方式来代替每周的答疑哈哈。）
我相信所有来听这个课的都是学习较为薄弱的学生。所以不必担心自己问的问题太过平凡，要相信自己的问题同样可能是别人的问题。（问同学也同样值得鼓励：对对方而言，再讲一遍可以更好的掌握知识与整理思路；不过如果你和你的同学都不会，就带来这个课上问我好了。你和一个你随机选择的同学都不会，有理由相信还有更多人也不会的。）
如果在这个场合下讲了某种我认为比较精妙的解法，我会在下次习题课上再讲一遍，保证所有人都可以听到。所以对于先前知识掌握尚可的学生，不想来也没有关系。不过如果你听习题课也相当吃力，强烈建议你参加这样的补充培训。
同样的，不要所有问题都堆到考试前问。那样导致”一天一本书，一周一学期”——复习不完了。（最好更不要考试后惊讶”原来你还讲过这个呀！”）
如若学习不力，通常都比较腼腆害羞。不妨积极参与一下课堂，主动讲一些题；我作为助教负有把握时间的义务，如果让你们来讲解，一定是对时间有自信的。还是那句：如果自认为会了，再讲一遍也有助于更好的掌握知识与整理思路。这是专为你们的训练！
如果学有余力
得知以上建议都没有什么用（因为看起来你自己的学习方法已经足够了），甚至这一整个学期我都可能帮不上你，我感到很惭愧。你不得不自我提升了；如果你们愿意在班内、或者跨年级组一些学习小组，我当然会很支持。
以下是你们可行的自学方向：
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代数方向：你可以学习《代数学引论》三卷（科斯特利金），学完应该足够覆盖大学的代数知识了。
分析方向：你可以学习Rudin的三件套，学完应该足够覆盖大学的分析知识了。或者Stein的四件套也不错（其中的《傅里叶分析》一册我们大学期间基本不学）。
其他方向我了解不多。
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你们可以考虑准备丘成桐大学生数学竞赛。官网上有资料（虽然我才发现我下载过），你们可以去看，我也可以发给你们一份（不知道这么多年，资料有没有更新哈哈）。
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学习LaTeX。我可以提供安装包等等，以及对于作业提供一些排版的指导。
其他阅读材料
高等代数应该怎么学——对过去一年教学的总结【朱富海 数林广记】